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Selectividad Matemáticas II - Junio 2016 - Ejercicio 1 - Opción A

Resolución del examen de Matemáticas II de Junio de 2016 de Selectividad correspondiente a la comunidad autónoma de Andalucía.

EJERCICIO 1 DE LA OPCIÓN A

Sabiendo que el limite es finito, calcula a y el valor del limite (ln denota logaritmo neperiano).

SOLUCIÓN:

Aplicamos L'Hopital:

Para que el limite sea finito, el numerador también tiene que ser 0:

Y volvemos a aplicar  L'Hopital, sustituyendo "a" por su valor:

Problemas de grifos. Aplicación

Consideremos un problema en el que se pide el tiempo que tardan dos grifos A y B en llenar un depósito que tiene un desagüe C. El problema nos dará el tiempo que tardará cada grifo en llenar el depósito por separado, así como el tiempo que tardará el desagüe en vaciarlo con los dos grifos cerrados.

Tendremos que sumar 1/A + 1/B - 1/C = 1/x, siendo x el tiempo que tardarían todos juntos.

Veamos un aplicación de este teorema:

Ángel puede pintar una habitación en 6 horas; Gerardo la puede pintar en 3 horas. ¿Cuantas horas tardarían en pintar la habitación si ambos trabajaran juntos?

Primero formulamos la ecuación: sumamos los inversos de cada trabajador y lo igualamos al inverso de x:

Ahora hacemos mínimo común múltiplo en la parte izquierda de la ecuación y simplificamos todo lo posible:

Para finalmente llegar a la solución:

Por tanto, los dos trabajadores juntos tardarán 2 horas.

Resolución de ecuaciones de grado 1

1º) Quitar paréntesis. Para ello basta aplicar la propiedad distributiva (en nuestro ejemplo, el -5 multiplica tanto al 3 como a -6x). Si nuestra ecuación no tiene paréntesis, evidentemente este paso lo omitimos.
2º) Trasponer términos, es decir, poner los términos con x en el primer miembro y los términos independientes en el segundo. Esto puede realizarse teniendo presente que: -          Si el término que queremos cambiar tiene delante un signo + o no tiene signo, pasa al otro miembro con signo - . -          Si el término que queremos cambiar tiene delante un signo - , pasa al otro lado de la ecuación con signo + . -
3º) Reducir términos semejantes, es decir, sumar en cada miembro de la ecuación los términos semejantes. Para ello se suman por separado los términos con x y los términos independientes que hay en cada miembro.
4º) Una vez hecho esto, la ecuación habrá quedado de la forma: ax = c Se despeja la x, que tendrá como solución: x = c / a Si la solución es una fracción, debe ser simplificada cuando sea posible.

Derivabilidad con Parámetros

Definición: Una función f : R → R es derivable en un punto "a" si existe

A dicho límite lo notaremos f''(a)

Teorema: toda función f(x) derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no siempre es cierto para toda función.

Ejemplo: Hallar los valores de a y b para que la funcion sea derivable en todo R:

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la continuidad. Haciendo los límites laterales de los puntos críticos (en este caso -1/2). De ahí sacaremos una ecuación en función de a y b.

Posteriormente derivaremos la función, para hacer de nuevo los limites laterales de -1/2 (es decir para estudiar su derivabilidad). Así hallamos otra ecuación.

Montamos un sistema con las dos ecuaciones halladas y obtenemos los valores de a y b.

Asíntotas Oblícuas

Para calcular las asíntotas oblicuas tendremos que calcular tanto la m como la n:

y= mx + n

La m se calcula haciendo el limite cuando x tiende a infinito de la función entre x.

En cambio la n, tendremos que calcular el límite cuando x tiende a infinito de f(x) - mx

Tenemos que tener especial cuidado con la m.

Para saber de antemano si una función tiene asíntota oblicua, observamos los grados de los polinomios. Si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador, entonces existe asíntota oblicua.

Vamos a ver con un ejemplo como se calculan las asíntotas oblicuas:

Calcular el Máximo Común Divisor (m.c.d.)

Para calcular el Máximo Común Divisor de varios números tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Factorizar los números
2. Nos quedamos con los factores comunes con su menor exponente.

Veamoslo con un ejemplo, calcular el Máximo Común Divisor de 28, 32 y 40:

Área de Corona Circular

Una corona circular es, en geometría, una figura geométrica plana delimitada por dos circunferencias concéntricas.

Ejemplo:

Obtén el área de la corona circular comprendida entre dos circunferencias de radio 100 mm y 1cm.

En este caso, lo primero que tenemos que hacer es poner los radios en la misma unidad de medida (vamos a pasar lo mm a cm), para posteriormente aplicar la fórmula del área de una corona circular.

Caida Libre. Distintas Alturas

CAÍDA LIBRE. TIRO VERTICAL

Galileo Galilei (1564-1642), extraordinario físico italiano, es el autor del estudio del movimiento de los cuerpos que caen libremente, así como un vuelo parabólico.

El movimiento de caída libre es el movimiento de cualquier cuerpo, que se mueve libre, bajo la influencia única de la atracción gravitatoria, no importando cómo haya empezado a moverse ni si ha sido lanzado hacia abajo o hacia arriba (Tiro Vertical).

En el caso ideal de caída libre, se supone que no existe resistencia del aire. Los experimentos de Galileo demostraron que bajo esas condiciones, todos los cuerpos que caen están sometidos a la misma aceleración constante, dirigida hacia abajo y de un valor de 9.8 m/s2. También comprobó que en el vacio dos cuerpos tienen una caída idéntica.

La caída libre de los cuerpos y el tiro ascendente son movimientos rectilíneos uniformemente variados, sus ecuaciones son las mismas del M.R.U.A., donde la aceleración es la de la gravedad (g). se supone la fuerza de resistencia del aire nula.

Vamos a resolver el siguiente problema:

Los puntos A y B están sobre la misma vertical, pero A 512 m mas arriba, desde A se deja caer una bola, y 4,3 segundos mas tarde se deja caer otra desde B, y ambas llegan al suelo simultáneamente. 

¿Cuanto duro la caída de A ?¿A que altura esta B? 

NOTA: He ubicado el origen de coordenadas abajo y he considerado positivo hacia arriba.

Problema de Pitágoras con Escaleras

Vamos a resolver el siguiente problema:

Lucas puso una escalera a 2,5 metros de una muralla de 3 metros de altura y la escalera alcanzó justo hasta el borde de la muralla.

a) ¿Que longitud tiene la escalera?

b) Si la escalera medía 3,5 metros de largo, ¿a qué distancia de la muralla debió haberla colocado?

Para resolver el apartado a, tendremos que aplicar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa, mientras que para el apartado b, tendremos que usar el mismo teorema, pero en este caso para hallar un cateto.

Veamos su solución:

Indeterminación 1 elevado a Infinito

Para resolver la indeterminación 1 elevado a infinito, tenemos que aplicar una fórmula, consistente en elevar al número "e" al producto del exponente por la base menos 1.

Ejemplo:

Lo primero que tenemos que hacer es sustituir, para comprobar si es una indeterminación:

Una vez que tenemos la indeterminación uno elevado a infinito, podemos aplicar la fórmula, consiste en elevar el número "e" al exponente que teníamos, multiplicando por la base menos 1:

Ahora, lo que haremos será mínimo común múltiplo y operar en el segundo paréntesis:

Multiplicamos las dos fracciones:

Se simplifica un (x-1) de numerador y denominador, y obtenemos el valor del límite:

Veamoslo con otro ejemplo:

Problema de Números Consecutivos

Vamos a resolver el siguiente problema:

Hallar tres numero enteros consecutivos tales que el producto de los dos mas pequeños es dos unidades mas que diez veces el entero mas grande.

Lo primero que tenemos que hacer es asignar las variables a los números, estas son nuestras incógnitas:

x -- número más pequeño
x+1 -- número mediano
x+2 -- número mayor

Y resolvemos según vemos en la imagen:

Indeterminación cero entre cero (0/0) con Raices

Para resolver esta indeterminación cuando tenemos raíces lo que tenemos que hacer es multiplicar y dividir por el conjugado.

Casi siempre, se nos vuelve a convertir en otra indeterminación 0/0 pero en este caso solo influyen los polinomios, por lo que tendremos que factorizarlos mediante Ruffini.

Veamoslo con un ejemplo:

El Vulcanismo

El vulcanismo es parte del proceso de extracción de material desde el profundo interior de un planeta, y su derrame sobre la superficie. Las erupciones también liberan hacia la superficie gases frescos provenientes del material derretido más abajo. El vulcanismo es parte del proceso mediante el cual se enfría un planeta. Aún cuando no son volcanes, los géiseres y manantiales calientes son parte del proceso volcánico, involucrando agua y actividad hidrotermal. Algunos cuerpos planetarios, como la luna de Júpiter, Europa; también muestra vulcanismo congelado, en donde el agua ocupa el lugar de la lava. 

El magma y los gases rompen las zonas más débiles de la corteza externa de la Tierra o litosfera para llegar a la superficie. Estas debilidades se encuentran sobre todo a lo largo de los límites entre placas tectónicas, que es donde se concentra la mayor parte del vulcanismo. Cuando el magma y los gases alcanzan la superficie a través de las chimeneas o fisuras de la corteza, forman estructuras geológicas llamadas volcanes, de los que hay varios tipos.

De la misma forma que hay diferentes tipos de volcanes, hay muchas maneras como se forma un volcán. En la Tierra, la causa general para que surja el vulcanismo, es mediante la subducción litósferica.

Hay unos cuantos planetas en donde hay volcanes en la superficie, incluyendo a Venus, Marte, y la luna de Júpiter .Otros planetas muestran los resultados de actividad volcánica. estas incluyen Mercurio, la Luna de la Tierra, la luna de Júpiter, Europa, y quizás la luna de Neptuno Tritón.

RIESGOS Y BENEFICIOS DE LA ERUPCIONES.

Muchas ciudades han experimentado y sufrido las consecuencias de las erupciones volcánicas, algunas situadas a sus pies quedan sepultadas. 

Producen grandes perdidas para la agricultura, perdida de ganado y desalojo en las comarcas mas afectadas sin mencionar el problema donde los vientos arrojen las cenizas.

Sin embargo todos estos fenómenos clasificados como destructivos o dañinos tienen su compensación pues las caídas de las cenizas volcánicas contienen en si ricos minerales, dejan abonados los suelos con valiosos fertilizantes y naturales estos a su vez constituyen a aumentar sus cosechas y su rendimiento.

Además del enrequicimiento de los suelos por la descomposición de las cenizas, los volcanes producen recursos minerales como arena y torvas muy usadas como materiales de revestimiento y construcción además de presentar fumarolas y fuentes geotermales donde la presión de los gases pueden utilizarse para generar energía eléctrica.

Finalmente los volcanes con su vista panorámica y frecuentes fenómenos espectaculares constituyen escenarios de gran atractivo turístico.

Indeterminación inifinito menos infinito

Para resolver la indeterminación infinito menos infinito donde aparecen raíces, tenemos que multiplicar y dividir por el conjugado.

Normalmente esta indeterminación se convierte en infinito dividido por infinito (y tendremos que resolver esa nueva indeterminación), o en un número divido por infinito cuyo resultado es cero.

Vamos a verlo con un ejemplo:

La Estequiometría en la Vida Diaría

La Estequiometría es la parte de la química que se ocupa de las cuestiones relacionadas con las cantidades de sustancias que intervienen en las reacciones.  

La Estequiometría es el conjunto de reglas que permite predecir o calcular las cantidades de las sustancias que intervienen o se forman en una reacción química. La base de la Estequiometría es la indestructividad de los átomos en los procesos químicos.

En síntesis gracias a las igualdades Matemáticas se puede desarrollar las ecuaciones capaces de determinar cuantitativamente las masas y volúmenes. Por otra parte las  leyes están fundamentadas en los principios  de las masas y se han creado una gran cantidad de ellas, entre las más transcendentales están: Conservación de las masas, Proporciones definidas, Proporciones múltiples, Proporciones recíprocas, etc. Creadas por químicos de gran reconocimiento mundial posteriormente, como Antoine Lavoiser  padre de la química moderna. No obstante seguimos con la cuestión, ¿Cuál es la importancia de la Estequiometría en la vida diaria? Hoy en día se sabe que la Estequiometría ha ayudado a crear productos   y  aplicaciones al mundo. Entre ellos figuran fármacos, productos de aseo, elaboración de alimentos y compuestos.

Esto es básico en toda la industria química para la fabricación de miles de productos:

Alcohol, ácidos, medicamentos, pinturas, asfalto, barniz, plástico, goma, gasolina y muchos más.

Enumeremos algunos ejemplos más:

• Compuestos inorgánicos de medicamentos
• Compuestos de flúor para las pastas dentales
• Elaboración de fertilizantes
• Composición de aguas minerales
• Controlar las emisiones de dióxido de carbono

Factorizar polinomio de Segundo Grado

Para factorizar polinomios de segundo grado tenemos dos métodos:

1. Resolver la ecuación de segundo grado
2. Aplicar Ruffini

Adjunto foto donde se ve un ejemplo de los dos métodos:

Si tenéis alguna duda, ponerse en contacto conmigo: rincondetodo@gmail.com