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Selectividad Matemáticas II - Junio 2016 - Ejercicio 1 - Opción A

Resolución del examen de Matemáticas II de Junio de 2016 de Selectividad correspondiente a la comunidad autónoma de Andalucía.

EJERCICIO 1 DE LA OPCIÓN A

Sabiendo que el limite es finito, calcula a y el valor del limite (ln denota logaritmo neperiano).

SOLUCIÓN:

Aplicamos L'Hopital:

Para que el limite sea finito, el numerador también tiene que ser 0:

Y volvemos a aplicar  L'Hopital, sustituyendo "a" por su valor:

Problemas de grifos. Aplicación

Consideremos un problema en el que se pide el tiempo que tardan dos grifos A y B en llenar un depósito que tiene un desagüe C. El problema nos dará el tiempo que tardará cada grifo en llenar el depósito por separado, así como el tiempo que tardará el desagüe en vaciarlo con los dos grifos cerrados.

Tendremos que sumar 1/A + 1/B - 1/C = 1/x, siendo x el tiempo que tardarían todos juntos.

Veamos un aplicación de este teorema:

Ángel puede pintar una habitación en 6 horas; Gerardo la puede pintar en 3 horas. ¿Cuantas horas tardarían en pintar la habitación si ambos trabajaran juntos?

Primero formulamos la ecuación: sumamos los inversos de cada trabajador y lo igualamos al inverso de x:

Ahora hacemos mínimo común múltiplo en la parte izquierda de la ecuación y simplificamos todo lo posible:

Para finalmente llegar a la solución:

Por tanto, los dos trabajadores juntos tardarán 2 horas.

Resolución de ecuaciones de grado 1

1º) Quitar paréntesis. Para ello basta aplicar la propiedad distributiva (en nuestro ejemplo, el -5 multiplica tanto al 3 como a -6x). Si nuestra ecuación no tiene paréntesis, evidentemente este paso lo omitimos.
2º) Trasponer términos, es decir, poner los términos con x en el primer miembro y los términos independientes en el segundo. Esto puede realizarse teniendo presente que: -          Si el término que queremos cambiar tiene delante un signo + o no tiene signo, pasa al otro miembro con signo - . -          Si el término que queremos cambiar tiene delante un signo - , pasa al otro lado de la ecuación con signo + . -
3º) Reducir términos semejantes, es decir, sumar en cada miembro de la ecuación los términos semejantes. Para ello se suman por separado los términos con x y los términos independientes que hay en cada miembro.
4º) Una vez hecho esto, la ecuación habrá quedado de la forma: ax = c Se despeja la x, que tendrá como solución: x = c / a Si la solución es una fracción, debe ser simplificada cuando sea posible.

Derivabilidad con Parámetros

Definición: Una función f : R → R es derivable en un punto "a" si existe

A dicho límite lo notaremos f''(a)

Teorema: toda función f(x) derivable en un punto, es continua en este punto. El contrario no siempre es cierto para toda función.

Ejemplo: Hallar los valores de a y b para que la funcion sea derivable en todo R:

Lo primero que tenemos que hacer es calcular la continuidad. Haciendo los límites laterales de los puntos críticos (en este caso -1/2). De ahí sacaremos una ecuación en función de a y b.

Posteriormente derivaremos la función, para hacer de nuevo los limites laterales de -1/2 (es decir para estudiar su derivabilidad). Así hallamos otra ecuación.

Montamos un sistema con las dos ecuaciones halladas y obtenemos los valores de a y b.

Asíntotas Oblícuas

Para calcular las asíntotas oblicuas tendremos que calcular tanto la m como la n:

y= mx + n

La m se calcula haciendo el limite cuando x tiende a infinito de la función entre x.

En cambio la n, tendremos que calcular el límite cuando x tiende a infinito de f(x) - mx

Tenemos que tener especial cuidado con la m.

Para saber de antemano si una función tiene asíntota oblicua, observamos los grados de los polinomios. Si el grado del numerador es un grado mayor que el del denominador, entonces existe asíntota oblicua.

Vamos a ver con un ejemplo como se calculan las asíntotas oblicuas:

Calcular el Máximo Común Divisor (m.c.d.)

Para calcular el Máximo Común Divisor de varios números tenemos que seguir los siguientes pasos:

1. Factorizar los números
2. Nos quedamos con los factores comunes con su menor exponente.

Veamoslo con un ejemplo, calcular el Máximo Común Divisor de 28, 32 y 40: